脈衝成形濾波器 - moerjielovecookie

數字信號要想在信道中傳輸，必須在發射機的基帶部分進行脈衝成型，將數字信號轉化為脈衝信號；脈衝信號到達接收機後，在基帶部分進行採樣判決後恢復出數字信號。

脈衝成形#

矩形脈衝#

最容易實現的脈衝波形就是矩形脈衝，以數字信號 “00010110” 为例，在發射端可以將 “0” 映射為正脈衝，“1” 映射為負脈衝。在接受端採樣時刻的信號電平為正電平則為 “0”，信號電平為負電平則為 “1”。
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但是矩形脈衝信號的頻譜為無限寬，所以在帶寬有限的信道傳輸時會發生失真，甚至可能導致採樣判決失真，無法恢復出數字信號。

Sinc 脈衝#

Sinc 脈衝信號有兩個優點：

Sinc 信號的頻譜帶寬是有限的，經過帶寬有限的信道進行傳輸時不會出現失真。
一個碼元達到最大幅值時其他碼元的幅值剛好為 0，碼元之間不會相互影響，實現无码間串擾。
以數字信號 00010110 為例，0 映射為正脈衝，1 映射為負脈衝。
發射端經過脈衝成型後的波形如下：

接收端的採樣判決如下：

基帶濾波器#

理想低通濾波器#

如果要脈衝成型為 sinc 波形，只要將單位衝激信號輸入理想 LPF 即可得到 sinc 脈衝信號。
如果 LPF 的帶寬為 B，則輸出的 sinc 脈衝信號波形如下：
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只要 sinc 脈衝信號發送間隔設為 $\frac {1}{B}$，也就是碼元傳輸速率 $R_B=2B$，就可以實現无码間串擾。

升餘弦滾降濾波器#

採用理想低通濾波器對單位衝激信號進行濾波得到的 sinc 脈衝信號，拖尾振盪幅度比較大、衰減速度比較慢，當定時出現偏差時，碼間串擾會比較大。考慮到實際的系統總是存在一定的定時誤差，所以脈衝成型一般不採用理想低通濾波器，而是採用升餘弦滾降濾波器，這種濾波器拖尾振幅小、衰減快，對於減小碼間串擾和降低對定時的要求都有利。
升餘弦滾降濾波器的頻率響應為：

\begin{aligned} &\mathrm{H}(f)=\begin{cases}\frac{1}{2B},&0\leqslant\left|f\right|<\left(1-\alpha\right)B\\\frac{1}{4B}\left\{1+\cos\frac{\pi}{2B\alpha}\Big[\left|f\right|-B\left(1-\alpha\right)\right]\Big\},&(1-\alpha)B\leqslant|f|<(1+\alpha)B\\0,&\left|f\right|\geqslant\left(1+\alpha\right)B \\ \end{cases}\end{aligned}

其中， $B=\frac{R_B}{2}$
升餘弦滾降濾波器的頻率響應曲線如下：

升餘弦滾降濾波器的單位衝激響應為：

\mathrm h(t)=\mathscr{F}^{-1}\big[\mathrm H(f)\big]=\mathrm sinc\big(2Bt\big)\frac{\cos\big(2\pi\alpha Bt\big)}{1-\big(4\alpha Bt\big)^2}

其中 $\alpha$ 是升餘弦滾降濾波器的一個很重要的參數，稱為滾降係數。
當 $\alpha=0$ 時，升餘弦滾降濾波器就是一個帶寬為 B 的理想低通濾波器。
當 $\alpha=0.5$ 時，升餘弦滾降濾波器的頻率響應和單位衝激響應如下：

此時濾波器的帶寬為 $（1+\alpha）B=1.5B$ 。
當 $\alpha=1$ 時，升餘弦滾降濾波器的頻率響應和單位衝激響應如下：

此時濾波器帶寬為 $（1+\alpha）B=2B$ 。
在使用升餘弦滾降濾波器進行脈衝成型時，要想實現无码間串擾，則脈衝信號之間的時間間隔必須為 $\frac{1}{2B}$ ，即碼元速率為 $R_B=2B$ 。
由於升餘弦滾降濾波器會展寬帶寬，因此在給定碼元速率 $R_B$ 的情況下，基帶信號的頻譜帶寬為 $(1+\alpha)\times {R_B}/{2}$ 。

眼圖#

眼圖可以用來評估一個系統的碼間串擾情況。