多速率信號處理-CIC濾波器

基本原理#

級聯積分梳狀濾波器（Cascade Intergrator Comb）是多速率信號處理中一種十分高效的數字濾波器。CIC 濾波器具有低通濾波器的特性，同時具有以下優勢：

積分器結構為

時域上可表示為

y_1(n)=x(n)+y_1(n-1)

頻域上可表示為

H_1(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}w}}

可得積分器的幅度譜為

\left|H_1(\mathrm{e}^{jw})\right|=\left|\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-jw}}\right|=\left|\frac{1}{\mathrm{e}^{-jw/2}(\mathrm{e}^{jw/2}-\mathrm{e}^{-jw/2})}\right|=\left|\frac{1}{2\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|

從公式可以得出積分器只有極點 $(\omega = 2k \pi，k為整數)$ 而無零點，且對直流信號具有無限大的增益。

時域上可表示為

y_C(n)=x(n)-x(n-RM)

R 和 M 的乘積表示梳狀濾波器的延遲長度

頻域上可表示為

H_\mathrm{C}(z)=1-z^{-RM}

幅度譜為

\left|H_{\mathrm{C}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw}\right|=\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw/2}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}RMw/2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw/2})\right|=2\left|\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)\right|

可知梳狀濾波器只有零點，沒有極點

若 $R=8$ 、 $M=1$ ，則結構為

由此可知單級 CIC 濾波器的幅度譜為

\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|H_{1}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|\cdot\left|H_{\mathrm{C}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)}{\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|

當 $\mathrm{RM\omega}/2=\mathrm{k}\:\pi$ 時，即 $w=\frac{2k\pi}{RM}\quad(k=\pm1,\pm2,\cdots,\pm(RM-1))$ 時可以確定零點

當 $\omega /2 =k\pi$ ，即 $\omega = 2k\pi$ 時，可得此時的幅頻響應為

\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega})\right|_{\omega=2k\pi}=RM

從而實現了零極點相消

單級 CIC 濾波器在 $\omega =0時 \left| H_{CIC}(e^{j\omega}) \right|=RM$ ，所以主瓣區間為 $\begin{bmatrix}0,\frac{2\pi}{RM}\end{bmatrix}$ ，其餘都為旁瓣，第一旁瓣電平為

A_1=\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|_{w=\frac{3\pi}{RM}}=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}\times\frac{3\pi}{RM}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\times\frac{3\pi}{RM}\right)}\right|=\left|\frac{1}{\sin\left(\frac{3\pi}{2RM}\right)}\right|

因此旁瓣抑制為

A=\left|RM\sin\left(\frac{3\pi}{2RM}\right)\right|

當 $\mathrm {R}\rightarrow\infty $ 時，旁瓣抑制為

A=20lg(\lim_{R\to\infty}A)=20lg(\frac{3\pi}{2})=13.46dB

單級 CIC 濾波器的阻帶衰減為

\alpha =-20lgb

帶內容差（通帶波紋）為

\delta = 20lg\left|\frac{b\pi}{\sin(b\pi)}\right|

其中 $b$ 為帶寬比例因子

b=\frac{B}{f_s/(RM)}

單級 CIC 濾波器的旁瓣電平較高，可通過多級 CIC 級聯改善。

\left|H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)}{\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|^N

對於 N 級 CIC 級聯濾波器，旁瓣抑制、阻帶衰減、帶內容差可表示為

\begin{cases}A_\mathrm{N}=13.46N\:\mathrm{dB}\\\alpha_\mathrm{N}=-20N\lg b\\\delta_\mathrm{N}=20N\lg\left|\frac{b\pi}{\sin(b\pi)}\right|\end{cases}

增大 CIC 濾波器階數的話，可以增加旁瓣抑制和阻帶衰減，但是會導致帶內容差變大。因此考慮到通帶性能，通常選擇 $N\leq5$ 。在 N 不變的情況下，帶寬比例因子 b 越小，CIC 濾波器的通帶和阻帶特性也越好，因此 CIC 一般位於插值系統的最後一級（輸入速率最高）

由多級濾波器的幅頻響應可知，當 $\omega \rightarrow 0$ 時

\lim\limits_{w\to0}\Bigl|H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\Bigr|=\lim\limits_{w\to0}\Biggl|\frac{\frac{RM}{2}\cdot\cos(RMw/2)}{\frac{1}{2}\cdot\cos(w/2)}\Biggr|^N=(RM)^N

由此可知多級 CIC 濾波器可以引起的幅度增益的最大值為

G_{max}=(RM)^N

假設輸入的數據 $x (n)$ 為有符號數，位寬為 $B_{in}$ ，取值範圍為 $[-2^{B_{in}-1},2^{B_{in}-1}-1]$ ，則輸出 $y(n)$ 的最大值為

y_{max}=-2^{B_{\mathrm{m}}-1}\cdot\left(RM\right)^N

因此輸出的最大位寬為

B_{\mathrm{out}}=\text{ceil}[\log_2|y_{\mathrm{max}}|]+1=N\cdot\text{ceil}[\log_2(RM)]+B_{\mathrm{in}}

在 FPGA 設計時，要合理地設置輸出信號的位寬，防止數據的溢出，為了節省資源，也可以在每一級適當的進行截位