多速率信号処理-CICフィルター

基本原理#

級聯積分梳狀濾波器（Cascade Integrator Comb）は、多速率信号処理において非常に効率的なデジタルフィルターです。CIC フィルターはローパスフィルターの特性を持ちながら、以下の利点があります：

フィルター係数はすべて 1 であり、設計時にフィルター係数を保存する必要がなく、ストレージユニットを節約し、フィルタリング時には加算器と累積器のみが必要で、乗算器は不要です。
構造が規則的であり、全体の構造に影響を与えずに補間因子を柔軟に設定できます。

積分器#

積分器の構造は

時域では次のように表されます

y_1(n)=x(n)+y_1(n-1)

周波数域では次のように表されます

H_1(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})=\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}w}}

積分器の振幅スペクトルは次のようになります

\left|H_1(\mathrm{e}^{jw})\right|=\left|\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-jw}}\right|=\left|\frac{1}{\mathrm{e}^{-jw/2}(\mathrm{e}^{jw/2}-\mathrm{e}^{-jw/2})}\right|=\left|\frac{1}{2\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|

この式から、積分器は極点 $(\omega = 2k \pi，kは整数)$ のみを持ち、零点はなく、直流信号に対して無限大の増幅を持つことがわかります。

梳狀濾波器#

時域では次のように表されます

y_C(n)=x(n)-x(n-RM)

R と M の積は梳狀濾波器の遅延長を示します。

周波数域では次のように表されます

H_\mathrm{C}(z)=1-z^{-RM}

振幅スペクトルは次のようになります

\left|H_{\mathrm{C}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw}\right|=\left|\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw/2}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}RMw/2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}RMw/2})\right|=2\left|\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)\right|

梳狀濾波器は零点のみを持ち、極点はありません。

$R=8$ 、 $M=1$ の場合、構造は

このことから、単一級 CIC フィルターの振幅スペクトルは次のようになります

\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|H_{1}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|\cdot\left|H_{\mathrm{C}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)}{\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|

$\mathrm{RM\omega}/2=\mathrm{k}\:\pi$ のとき、すなわち $w=\frac{2k\pi}{RM}\quad(k=\pm1,\pm2,\cdots,\pm(RM-1))$ のときに零点を特定できます。

$\omega /2 =k\pi$ 、すなわち $\omega = 2k\pi$ のとき、このときの振幅周波数応答は次のようになります

\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega})\right|_{\omega=2k\pi}=RM

これにより、零極点の相殺が実現されます。

単一級 CIC フィルターは $\omega =0$ のときに $\left| H_{CIC}(e^{j\omega}) \right|=RM$ であるため、主瓣区間は $\begin{bmatrix}0,\frac{2\pi}{RM}\end{bmatrix}$ であり、残りはすべて旁瓣で、第一旁瓣電平は

A_1=\left|H_{\mathrm{CIC}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|_{w=\frac{3\pi}{RM}}=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}\times\frac{3\pi}{RM}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\times\frac{3\pi}{RM}\right)}\right|=\left|\frac{1}{\sin\left(\frac{3\pi}{2RM}\right)}\right|

したがって、旁瓣抑制は

A=\left|RM\sin\left(\frac{3\pi}{2RM}\right)\right|

$$\mathrm {R}\rightarrow\infty $ のとき、旁瓣抑制は

A=20lg(\lim_{R\to\infty}A)=20lg(\frac{3\pi}{2})=13.46dB

単一級 CIC フィルターの阻帯減衰は

\alpha =-20lgb

帯内容差（通帯波紋）は

\delta = 20lg\left|\frac{b\pi}{\sin(b\pi)}\right|

ここで $b$ は帯域幅比因子です。

b=\frac{B}{f_s/(RM)}

単一級 CIC フィルターの旁瓣電平は高いため、多級 CIC 級聯によって改善できます。

\left|H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\right|=\left|\frac{\sin\left(\frac{RM}{2}w\right)}{\sin\left(\frac{w}{2}\right)}\right|^N

N 級 CIC 級聯フィルターに対して、旁瓣抑制、阻帯減衰、帯内容差は次のように表されます

\begin{cases}A_\mathrm{N}=13.46N\:\mathrm{dB}\\\alpha_\mathrm{N}=-20N\lg b\\\delta_\mathrm{N}=20N\lg\left|\frac{b\pi}{\sin(b\pi)}\right|\end{cases}

CIC フィルターの階数を増やすことで、旁瓣抑制と阻帯減衰を増加させることができますが、帯内容差が大きくなります。したがって、通帯性能を考慮して、通常は $N\leq5$ を選択します。N が不変の場合、帯域幅比因子 b が小さいほど、CIC フィルターの通帯と阻帯特性も良くなります。したがって、CIC は通常、補間システムの最後のレベルに配置されます（入力レートが最も高い）。

位増加問題#

多級フィルターの振幅周波数応答から、$\omega \rightarrow 0$ のとき

\lim\limits_{w\to0}\Bigl|H(\mathrm{e}^{\mathrm{j}w})\Bigr|=\lim\limits_{w\to0}\Biggl|\frac{\frac{RM}{2}\cdot\cos(RMw/2)}{\frac{1}{2}\cdot\cos(w/2)}\Biggr|^N=(RM)^N

このことから、多級 CIC フィルターによって引き起こされる振幅増益の最大値は

G_{max}=(RM)^N

入力データ $x (n)$ が符号付き数で、ビット幅が $B_{in}$ 、値の範囲が $[-2^{B_{in}-1},2^{B_{in}-1}-1]$ であると仮定すると、出力 $y(n)$ の最大値は

y_{max}=-2^{B_{\mathrm{m}}-1}\cdot\left(RM\right)^N

したがって、出力の最大ビット幅は

B_{\mathrm{out}}=\text{ceil}[\log_2|y_{\mathrm{max}}|]+1=N\cdot\text{ceil}[\log_2(RM)]+B_{\mathrm{in}}

FPGA 設計時には、出力信号のビット幅を適切に設定し、データのオーバーフローを防ぎ、リソースを節約するために、各レベルで適切にビットを切り捨てることもできます。